Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienter skrives som $(\binom{n}{k})$ og leses som « $n$ over $k$ ».

For å bestemme verdien av binomialkoeffisienten gjør vi:

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

der $n!$ er fakultetsfunksjonen til $n$ .

Raskere regnemetode for binomialkoeffisienter

Vi kan forenkle beregningene ved å kun regne ut

(\binom{n}{k}) = \frac{\prod_{i = k + 1}^{n} i}{(n - k)!}

For eksempel blir

(\binom{8}{4}) = \frac{\prod_{i = (4 + 1)}^{8} i}{(8 - 4)!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{3} = 5 \cdot 2 \cdot 7 = 70

Å bruke formelen her er litt vanskelig, så dette er min algoritme for å finne binomialkoeffisientene.

Finn $m = min (k, (n - k))$ .
- Velg altså det minste av $k$ og $(n - k)$
- $m$ bestemmer antall faktorer i teller og nevner
Sett opp en brøkstrek
I telleren starter du med $n$ og multipliserer med heltallene nedover. $m$ er antall faktorer.
I nevneren starter du med 1 og multipliserer med heltallene oppover. $m$ er antall faktorer.

Vi skal bestemme $(\binom{12}{9})$ . Da er $m = min (9, (12 - 9)) = 3$ .

(\binom{12}{9}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1320}{6} = 220

Vi kan bestemme binomialkoeffisienter ved hjelp av Pascals trekant.

Binomialkoeffisienten til $(\binom{n}{k})$ vil være tall nummer $(k + 1)$ i rad $(n + 1)$ .

For eksempel vil $(\binom{8}{4})$ være det $(4 + 1) = 5$ . tallet som ligger i rad $(8 + 1) = 9$ (fra toppen). Altså: $(\binom{8}{4}) = 70$