Typiske algebrafeil

Algebra er vanskelig, men så lenge du ikke gjør noe ulovlig så går det som oftest greit.

I T-, R- og S-matte på videregående så er du nødt til å være god i algebra for å få vist kompetansen din på del 1. I dette notatet har jeg samlet noen vanlige feil som jeg ser at mange elever gjør.

Forkorting av brøker med bokstavuttrykk

Dere vil ofte komme over brøker som denne

\frac{2 x (x + 2) - 1}{(x + 2)^{2}}

Som flinke og flittige elever så ønsker man gjerne å skrive dette uttrykket så enkelt som mulig. Det er da naturlig å tenke at man kan forkorte bort $(x + 2)$ fra teller og nevner på denne måten

Eksempel på feil måte å forkorte brøk med bokstavuttrykk

$\frac{2 x (x + 2) - 1}{(x + 2)^{2}}$

Det er ikke lov siden telleren vår består av flere ledd. Legg merke til at telleren har to ledd i dette tilfellet:

$2 x (x + 2)$
$- 1$ .

Løsning: forkorting av brøker med bokstavuttrykk

Du har alltid lov til å forkorte dersom du faktoriserer teller og nevner først. Det er egentlig akkurat det samme som du gjør når du forkorter brøker med tall. Se hvordan jeg forkorter $\frac{14}{6}$ i dette talleksempelet $↓$

\frac{14}{6} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} = \frac{7}{3}

Tenk at forkorting av bokstavuttrykk er det samme som forkorting av vanlige brøker: du har kun lov til å forkorte dersom du har samme faktor i teller og nevner, og dersom du har flere ledd i teller eller nevner så må du faktorisere alle leddene.

La oss se på et eksempel med bokstavuttrykk $↓$

\frac{2 x^{2} + 3 x}{4 x - x^{2}} = \frac{x (2 x + 3)}{x (4 - x)} = \frac{x (2 x + 3)}{x (4 - x)} = \frac{2 x + 3}{4 - x}

Her fant jeg faktoren $x$ i hvert av de fire leddene (to ledd i teller og to i nevner). Jeg faktoriserte derfor ut $x$ og deretter kan jeg forkorte $x$ . Til slutt står vi igjen med leddene $2 x$ , $3$ , $4$ og $- x$ . Disse har ingen felles faktorer, og det gir ikke mening å faktorisere videre.

Forkorting av brøker med bokstavuttrykk

Se etter felles faktorer i alle ledd i teller og nevner. Felles faktorer kan alltid forkortes, men det er ofte lurt å faktorisere teller og nevner først for å unngå å gjøre feil.

Å løse opp parentes med eksponent

Vi får ofte uttrykk som $(x + 2)^{2}$ eller $(2 x^{2} - 4 x)^{3}$ hvor vi har en parentes med flere ledd opphøyd i et tall. Det er da fristende å sette inn eksponenten på hvert av leddene i parentesen på denne måten

Eksempel på feil måte å løse parentes med eksponent

$(x + 2)^{2} = x^{2} + 2^{2} = x^{2} + 4$

Dette er ikke lov. Husk at

(x + 2)^{2} = (x + 2) \cdot (x + 2) = x^{2} + 4 x + 4

Kvadratsetningene

Vi bruker ofte kvadratsetningene når vi har uttrykk opphøyd i andre.

Første kvadratsetning: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
Andre kvadratsetning: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
Tredje kvadratsetning (konjugatsetningen): $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Løsning: løse opp parentes med eksponent

Før du prøver å løse opp parentesen bør du spørre deg selv om det er nødvendig å gange den ut. For eksempel er uttrykket $(x + 2)^{2}$ allerede et flott faktorisert uttrykk.

Hvis det er nødvendig å løse opp parentesen må du sjekke om den inneholder flere ledd. Dersom det kun er ett ledd inne i parentesen kan du bruke potensregelen $(a \cdot b)^{m} = a^{m} \cdot b^{m}$ på denne måten $↓$

(3 a x)^{2} = 3^{2} \cdot a^{2} \cdot x^{2} = 9 a^{2} x^{2}

Hvis parentesen din inneholder flere ledd så kan det være du er nødt til å regne en del. Er parentesen opphøyd i 2 så kan du bruke kvadratsetningene, er den opphøyd i mer enn 2 så må du multiplisere sammen alle leddene.

La oss se hvordan vi kan regne ut $(5 x + 3)^{3}$

\begin{array}{r} (5 x + 3)^{3} \\ (5 x + 3) (5 x + 3) (5 x + 3) \\ ((5 x \cdot 5 x) + (5 x \cdot 3) + (3 \cdot 5 x) + (3 \cdot 3)) (5 x + 3) \\ (25 x^{2} + 15 x + 15 x + 9) (5 x + 3) \\ (25 x^{2} + 30 x + 9) (5 x + 3) \\ (25 x^{2} \cdot 5 x) + (30 x \cdot 5 x) + (9 \cdot 5 x) + (25 x^{2} \cdot 3) + (30 x \cdot 3) + (9 \cdot 3) \\ 125 x^{3} + 150 x^{2} + 45 x + 75 x^{2} + 90 x + 27 \\ 125 x^{3} + 225 x^{2} + 135 x + 27 \end{array}

Som dere ser er dette utrolig arbeidskrevende (det finnes noen triks for å gjøre dette enklere med bruk av Pascals trekant), men det er likevel ikke noe jeg tror dere noen gang trenger å gjøre i løpet av videregående. Hvis dere har eksponenten 3 eller høyere så ville jeg derfor ikke løst opp parentesen.

Løse opp parentes med eksponent

Vurder først om du trenger å løse opp parentesen. Ofte er det ikke nødvendig.
Hvis du kun har ett ledd inne i parentesen så bruker du potensregelen $(a \cdot b)^{m} = a^{m} \cdot b^{m}$
Hvis du har en parentes med to ledd opphøyd i andre bruker du kvadratsetning
Har du mer enn to ledd eller opphøyd i mer enn 2 så er det lite sannsynlig at du skal regne dette ut i en skoleoppgave.